निम्नलिखित समीकरणों का $a$ के कितने मानों के लिए कम से कम दो अलग-अलग हल $(Solution)$ है ?

$a x+y=0$,$x+(a+10) y=0$

यदि ${a_1},{a_2},{a_3}…..{a_n}….$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तब सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{\log {a_n}}&{\log {a_{n + 1}}}&{\log {a_{n + 2}}}\\{\log {a_{n + 3}}}&{\log {a_{n + 4}}}&{\log {a_{n + 5}}}\\{\log {a_{n + 6}}}&{\log {a_{n + 7}}}&{\log {a_{n + 8}}}\end{array}\,} \right|$ का मान होगा

माना $D = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}\end{array}\,} \right|$ and $D' = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1} + p{b_1}}&{{b_1} + q{c_1}}&{{c_1} + r{a_1}}\\{{a_2} + p{b_2}}&{{b_2} + q{c_2}}&{{c_2} + r{a_2}}\\{{a_3} + p{b_3}}&{{b_3} + q{c_3}}&{{c_3} + r{a_3}}\end{array}\,} \right|$, तो

यदि $x = cy + bz,\,\,y = az + cx,\,\,z = bx + ay$ (जहाँ $ x, y, z$ सभी शून्य नहीं हैं) का $x = 0$,$y = 0$,$z = 0$ के अतिरिक्त भी कोई हल है, तो  $a, b $ और $ c$  में सम्बन्ध है

यदि ${D_p} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}p&{15}&8\\{{p^2}}&{35}&9\\{{p^3}}&{25}&{10}\end{array}\,} \right|$,  तो .${D_1} + {D_2} + {D_3} + {D_4} + {D_5} = $